দ্বিতীয় অধ্যায় : ভেক্টর, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১ম পত্র

প্রশ্ন-১. শূন্য ভেক্টরের অপর নাম কি?

উত্তর : নাল ও অপ্রকৃত ভেক্টর।

প্রশ্ন-২. অপ্রকৃত ভেক্টরের সংখ্যা কয়টি?

উত্তর : 1টি।

প্রশ্ন-৩. কোন ভেক্টরের সুনির্দিষ্ট দিক নেই?

উত্তর : শূন্য ভেক্টর।

প্রশ্ন-৪. অভিক্ষেপ কি রাশি?

উত্তর : অভিক্ষেপ একটি স্কেলার রাশি।

প্রশ্ন-৫. কোনো ভেক্টরের আদিবিন্দু ও প্রান্তবিন্দু একই হলে ভেক্টরটির মান কত?

উত্তর : 0।

প্রশ্ন-৬. ভেক্টর যোগের জন্য কোন বিধি প্রযোজ্য নয়?

উত্তর : সংযোগ বিধি।

প্রশ্ন-৭. অদিক বা স্কেলার রাশি কাকে বলে?

উত্তর : যে সকল রাশি সুস্পষ্টভাবে প্রকাশের জন্য কেবলমাত্র মানের প্রয়োজন হয় তাদেরকে অদিক বা স্কেলার রাশি বলে।

প্রশ্ন-৮. সদিক বা ভেক্টর রাশি কাকে বলে?

উত্তর : যে সকল রাশি সুস্পষ্টভাবে প্রকাশের জন্য মান ও দিক উভয়েরই প্রয়োজন হয় তাদেরকে সদিক বা ভেক্টর রাশি বলে।

প্রশ্ন-৯. ধারক রেখা কাকে বলে?

উত্তর : কোনো রেখাংশ যে অসীম দৈর্ঘ্যের রেখার অংশ তাকে রেখাংশটির ধারক রেখা বলে।

প্রশ্ন-১০. শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর : যে ভেক্টরের মান শূন্য তাকে শূন্য ভেক্টর বা নাল ভেক্টর বলা হয়।

প্রশ্ন-১১. ভেক্টরের মান কাকে বলে?

উত্তর : কোনো ভেক্টরের আদি বিন্দু ও প্রান্ত বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বকে ভেক্টরটির মান বলে। a ভেক্টরের মানকে |a| বা a দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

প্রশ্ন-১২. প্রকৃত ও অপ্রকৃত ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর : শূন্য ভেক্টর ব্যতীত সকল ভেক্টরকে প্রকৃত ভেক্টর এবং শূন্য ভেক্টরকে অপ্রকৃত ভেক্টর বলে।

প্রশ্ন-১৩. সদৃশ ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর : যে সকল ভেক্টর সমূহের দিক একই তাদেরকে সদৃশ ভেক্টর বলে।

প্রশ্ন-১৪. দুইটি ভেক্টরের সমতা বলতে কি বুঝ?

উত্তর : দুইটি ভেক্টরকে সমান ভেক্টর বলা হয় যদি, (i) এদের মান সমান হয় (ii) এদের ধারক রেখা অভিন্ন বা সমান্তরাল হয় (iii) এদের দিক একই হয়।

প্রশ্ন-১৫. একক ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর : যে ভেক্টরের মান এক (1) তাকে একক ভেক্টর বলে।

প্রশ্ন-১৬. ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি উল্লেখ কর।

উত্তর : দুইটি ভেক্টরকে একই ক্রমে ত্রিভুজের দুইটি বাহু দ্বারা প্রকাশ করলে ত্রিভুজটির অপর বাহু বিপরীত ক্রমে মানে ও দিকে ভেক্টর দুইটির যোগফল প্রকাশ করে।

স্বাধীন ও সীমাবদ্ধ ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তরঃ কোনো ভেক্টর রাশির পাদবিন্দু কোথায় হবে তা যদি ইচ্ছেমতো পছন্দ করা যায়, তবে সেই ভেক্টরকে স্বাধীন ভেক্টর বলে। কিন্তু কোনো ভেক্টরের পাদবিন্দু যদি ইচ্ছেমতো পছন্দ করতে দেওয়া না হয় অর্থাৎ কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুকে যদি পাদবিন্দু হিসেবে ঠিক করে রাখা হয় তাহলে সেই ভেক্টরকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে।

গ্রাডিয়েন্টের তাৎপর্য কি?

উত্তরঃ গ্রাডিয়েন্টের তাৎপর্যগুলো নিচে তুলে ধরা হলোঃ

• স্কেলার রাশির গ্রাডিয়েন্ট একটি ভেক্টর রাশি।
• উক্ত ভেক্টর রাশির মান ঐ স্কেলার রাশির সর্বাধিক বৃদ্ধি হারের সমান।
• স্কেলার রাশির পরিবর্তন শুধু বিন্দুর স্থানাঙ্কের উপরই নির্ভর করে না, যেদিকে এর পরিবর্তন দেখানো সেদিকের উপরেও নির্ভর করে।

প্রশ্ন-১৭. দুইটি ভেক্টর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত কি কি?

উত্তর : দুইটি ভেক্টর সমান্তরাল হওয়ার শর্তগুলোঃ

(i) ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই হলে অথবা ভিন্ন হলে সমান্তরাল হবে।

(ii) ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 0° অথবা 180° হবে।

প্রশ্ন-১৮. দুইটি ভেক্টর লম্ব হওয়ার শর্ত ব্যাখ্যা কর।

উত্তর : a ও b দুইটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ θ হলে, a.b = |a|.|b|cosθ

যেহেতু ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব, ∴ a.b = |a|.|b|cos90° = 0।

সুতরাং, দুইটি ভেক্টরের ডট গুণন শূন্য হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হয়।

জ্যামিতিক উপায়ে একটি ভেক্টর রাশিকে কিভাবে নির্দেশ করা হয়?

উত্তরঃ জ্যামিতিক উপায়ে কোন ভেক্টর রাশিকে রাশিটির দিকে বা সমান্তরাল একটি সরলরেখা এঁকে সরলরেখাটির শেষ প্রান্তে একটি তীর চিহ্ন দ্বারা রাশিটির দিক এবং কোন স্কেলে (যথা- মিটার স্কেলে) উক্ত সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য দ্বারা মান নির্দেশ করা হয়।