সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা: সংজ্ঞা, সূত্রাবলী
কোনো সংখ্যা বা রাশির অনুক্রমের পদ বা সংখ্যাগুলোকে ধারাবাহিক সমষ্টিকে ধারা বলে। অর্থাৎ অনুক্রম এর পদ বা সংখ্যা সমূহের যোগফলই ধারা।
উদাহস্বরুপ, 1+3+5+7+9+…+25 এর সমষ্টি =169। এটি একটি ধারা, যার প্রতিটি পদের মধ্যে পার্থক্য 2 বা সমান। আবার 1+3+9+27+… … একটি ধারা, যার প্রতিটি অনুপাত সমান অর্থাৎ প্রথম পদকে দ্বিতীয় পদ দ্বারা ভাগ, দ্বিতীয় পদকে তৃতীয় পদ দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে সমান মান পাওয়া যায়।
ধারার প্রকারভেদ
ধারা প্রধানত ২ প্রকার। সমান্তর ধারা এবং গুণোত্তর ধারা।
সমান্তর ধারা
সম+অন্তর= সমান্তর। অর্থাৎ যদি কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সবসময় সমান হয় তাহলে ধারাটি সমান্তর ধারা।
সহজ কথায়, যে ধারার কোন পদকে তার পরবর্তী পদ থেকে বিয়োগ করলে একই সংখ্যা বা রাশি পাওয়া যায়, তাকে সমান্তর ধারা বলে এবং এই বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে।
যেমন- 1+3+5+7+9+…91 একটি সমান্তর ধারা, কারণ ধারাটির যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সমান।
এখানে, প্রথম পদ ১, দ্বিতীয় পদ ৩, তৃতীয় পদ ৫, এবং শেষ পদ ৯১।
২য় পদ – ১ম পদ = ৩-১= ২
৩য় পদ – ২য় পদ = ৫-৩= ২
৪র্থ পদ – ৩য় পদ = ৭-৫= ২
এভাবে প্রাপ্ত দুই পদের বিয়োগফলকে সাধারণ অন্তর বলে। উপরোক্ত ধারার সাধারণ অন্তর ২।
গুণোত্তর ধারা
যে ধারার কোন পদের সাথে তার পরবর্তী পদের অনুপাত বা ভাগফল সর্বদাই সমান হয়, তাকে গুণোত্তর ধারা বলে।
যেমন: 1+3+9+27+… …
এই ধারাটির যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করলে সমান মান পাওয়া যায় অর্থাৎ, এভাবে পরবর্তী মানের ক্ষেত্রেও সমান মান পাওয়া যাবে।
ধারার সূত্র
সমান্তর ধারার সূত্র
প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হলে,
- r তম পদ = a+(r-1)d
- n সংখ্যক পদের সমষ্টি (S) = n{2a+(n-1)d}/2
- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2
- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = n(n+1)(2n+1)/6
- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন এর সমষ্টি = {n(n+1)/2}^2
- গড় = শেষ পদ + ১ম পদ / ২
গুণোত্তর ধারার সূত্র
ধারার প্রথম পদ a, সাধার অনুপাত r এবং পদ সংখ্যা n হলে,
- n তম পদ = ar^n-1
- n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S = a(r^n-1)/(r-1) যেখানে r >1
- আবার, s = a(1-r)^n/1-r যেখানে r <1
- a, b এর গুণোত্তর মধ্যক G = √ab
