অধ্যায়-১৩: ঘন জ্যামিতি, নবম-দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত

সমতল (Plane surface) বলতে কী বোঝ?

উত্তরঃ কোনো তলের উপরস্থ যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সম্পূর্ণরূপে ঐ তলের উপর অবস্থিত হলে, ঐ তলকে সমতল বলা হয়। পুকুরের পানি স্থির থাকলে ঐ পানির উপরিভাগ একটি সমতল। সিমেন্ট দিয়ে নির্মিত বা মোজাইককৃত ঘরের মেঝেকে আমরা সমতল বলে থাকি। কিন্তু জ্যামিতিকভাবে তা সমতল নয়। ঘরের মেঝেতে কিছু উঁচু-নিচু থাকেই। উপরের চিত্রে ABCD, ADEF, ABGF প্রতিটিই এক একটি সমতল।

ঘন জ্যামিতি (Solid geometry) কাকে বলে?

উত্তরঃ গণিত শাস্ত্রের যে শাখার সাহায্যে ঘনবস্তু এবং তল, রেখা ও বিন্দুর ধর্ম জানা যায়, তাকে ঘন জ্যামিতি বলে। কখনও কখনও একে জাগতিক জ্যামিতি বা ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিও বলা হয়।

বক্ৰতল (Curved surface) কাকে বলে?

উত্তরঃ কোনো তলের উপর অবস্থিত যে কোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সম্পূর্ণরূপে ঐ তলের উপর অবস্থিত না হলে, ঐ তলকে বক্রতল বলে। গোলকের পৃষ্ঠতল একটি বক্রতল।

একতলীয় রেখা কাকে বলে?

উত্তরঃ একাধিক সরলরেখা একই সমতলে অবস্থিত হলে, বা তাদের সকলের মধ্য দিয়ে একটি সমতল অঙ্কন সম্ভব হলে ঐ সরলরেখাগুলোকে একতলীয় রেখা বলে। উপরের চিত্রে AB ও CD এক তলীয় রেখা, কিন্তু EF তাদের সাথে একতলীয় নয়।

নৈকতলীয় রেখা বলতে কী বোঝায়?

উত্তরঃ একাধিক সরলরেখা একই সমতলে অবস্থিত না হলে বা তাদের মধ্য দিয়ে একটি সমতল অঙ্কন করা সম্ভব না হলে এগুলোকে নৈকতলীয় রেখা বলা হয়। উপরের চিত্রে AB ও EF নৈকতলীয় রেখা। দুইটি পেন্সিলকে একটির উপর আর একটি দিয়ে যোগ বা গুণচিহ্ন আকৃতির একটি বস্তু তৈরি করলেই দুইটি নৈকতলীয় সরলরেখা উৎপন্ন হবে।

সমান্তরাল সরলরেখা কাকে বলে?

উত্তরঃ দুইটি একতলীয় সরলরেখা যদি পরস্পর ছেদ না করে অর্থাৎ যদি তাদের কোনো সাধারণ বিন্দু না থাকে, তবে তাদের সমান্তরাল সরলরেখা বলে। উপরের চিত্রে AB ও CD সমান্তরাল সরলরেখা।

সমান্তরাল তল কাকে বলে?

উত্তরঃ দুইটি সমতল যদি পরস্পর ছেদ না করে অর্থাৎ যদি তাদের কোনো সাধারণ রেখা না থাকে তবে ঐ তলদ্বয়কে সমান্তরাল তল বলে।

সমতলের সমান্তরাল রেখা কাকে বলে?

উত্তরঃ একটি সরলরেখা ও একটি সমতলকে অনির্দিষ্টভাবে বর্ধিত করলেও যদি তারা পরস্পর ছেদ না করে, তবে ঐ সরলরেখাকে উক্ত তলের সমান্তরাল রেখা বলে।

তলের লম্ব রেখা কাকে বলে?

উত্তরঃ কোনো সরলরেখা একটি সমতলের উপরস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ সমতলের উপর অঙ্কিত যেকোনো রেখার উপর লম্ব হলে, উক্ত সরলরেখাকে ঐ সমতলের উপর লম্ব রেখা বলে।

তির্যক রেখা কাকে বলে?

উত্তরঃ কোনো সরলরেখা একটি সমতলের সাথে সমান্তরাল বা লম্ব না হলে, ঐ সরলরেখাকে সমতলের তির্যক রেখা বলে।

উল্লম্ব রেখা বা তল কাকে বলে?

উত্তরঃ স্থির অবস্থায় ঝুলন্ত ওলনের সুতার সঙ্গে সমান্তরাল কোনো রেখা বা তলকে খাড়া বা উল্লম্ব তল বলে।

আনুভূমিক তল ও রেখা কী?

উত্তরঃ কোনো সমতল একটি খাড়া সরলরেখার সাথে লম্ব হলে, তাকে শয়ান বা আনুভূমিক তল বলা হয়। আবার কোনো আনুভূমিক তলে অবস্থিত যেকোনো সরলরেখাকে আনুভূমিক সরলরেখা বা রেখা বলা হয়।

দ্বিতল কোণ (Dihedral angle) কী?

উত্তরঃ দুইটি সমতল সরলরেখায় ছেদ করলে তাদের ছেদ রেখাস্থ যেকোনো বিন্দু থেকে ঐ সমতলদ্বয়ের প্রত্যেকের উপর ঐ ছেদ রেখার সাথে লম্ব এরূপ একটি করে রেখা অঙ্কন করলে উৎপন্ন কোণই ঐ সমতলদ্বয়ের অন্তর্গত দ্বিতল কোণ।

অভিক্ষেপ বলতে কী বোঝায়?

উত্তরঃ কোনো বিন্দু থেকে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর বা কোনো সমতলের উপর অঙ্কিত লম্বরেখার পাদবিন্দুকে ঐ রেখা বা সমতলের উপর উক্ত বিন্দুর পাতন বা অভিক্ষেপ (projection) বলা হয়। কোনো সরলরেখা বা বক্ররেখার সকল বিন্দু থেকে কোনো নির্দিষ্ট সমতলের উপর অঙ্কিত লম্বগুলোর পাদবিন্দুসমূহের সেটকে ঐ সমতলের উপর উক্ত সরলরেখা বা বক্ররেখার অভিক্ষেপ বলা হয়। এই অভিক্ষেপকে লম্ব অভিক্ষেপও বলা হয়।

সমতল ও নৈকতলীয় চতুর্ভুজ বলতে কী বোঝায়?

উত্তরঃ কোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলো সব একই তলে অবস্থিত হলে, তাকে সমতল চতুর্ভুজ বলা হয়। আবার কোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলো সকলে একই তলে অবস্থিত না হলে, ঐ চতুর্ভুজকে নৈকতলীয় চতুর্ভুজ বলা হয়। নৈকতলীয় চতুর্ভুজের দুইটি সন্নিহিত বাহু একতলে এবং অপর দুইটি অন্য তলে অবস্থিত।

নৈকতলীয় রেখার অন্তর্গত কোণ বলতে কী বুঝ?

উত্তরঃ দুইটি নৈকতলীয় রেখার অন্তর্গত কোণ তাদের যেকোনো একটি ও তার উপরস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত অপরটির সমান্তরাল রেখার অন্তর্গত কোণের সমান। আবার দুইটি নৈকতলীয় রেখার প্রত্যেকের সমান্তরাল দুইটি রেখা কোনো বিন্দুতে অঙ্কন করলে ঐ বিন্দুতে উৎপন্ন কোণের পরিমাণও নৈকতলীয় রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণের সমান।

সরলরেখা ও সমতলের মধ্যে সম্পর্ক কী?

উত্তরঃ ক) কোনো সরলরেখা কোনো সমতলের সমান্তরাল হলে তাদের মধ্যে কোনো সাধারণ বিন্দু থাকবে না।

খ) কোনো সরলরেখা কোনো সমতলকে ছেদ করলে তাদের মধ্যে মাত্র একটি সাধারণ বিন্দু থাকবে।

গ) যদি কোনো সরলরেখা ও সমতলের দুইটি সাধারণ বিন্দু থাকে, তাহলে সম্পূর্ণ সরলরেখাটি ঐ সমতলে অবস্থিত হবে।

সামান্তরিক ঘনবস্তু কী?

উত্তরঃ তিনজোড়া সমান্তরাল সমতল দ্বারা আবদ্ধ ঘনবস্তুকে সামান্তরিক ঘনবস্তু বলা হয়।

আয়তাকার ঘনবস্তু কী?

উত্তরঃ যে সামান্তরিক ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলগুলো আয়তক্ষেত্র, তাকে আয়তাকার ঘনবস্তু বলা হয়।

ঘনক কাকে বলে?

উত্তরঃ যে আয়তাকার ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলগুলো বর্গক্ষেত্র, তাকে ঘনক বলে।

সমবৃত্তভূমিক কোণক কাকে বলে?

উত্তরঃ কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন একটি বাহুকে অক্ষ (axis) ধরে তার চতুর্দিকে ত্রিভুজটিকে একবার ঘুরিয়ে আনলে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক কোণক বলে।

গোলক কাকে বলে?

উত্তরঃ কোনো অর্ধবৃত্ত ক্ষেত্রের ব্যাসকে অক্ষ ধরে ঐ ব্যাসের চতুর্দিকে অর্ধবৃত্ত ক্ষেত্রকে একবার ঘুরিয়ে আনলে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তাকে গোলক বলে। অর্ধবৃত্তটির কেন্দ্রই গোলকের কেন্দ্র। এই ঘূর্ণনের ফলে অর্ধবৃত্ত যে তল উৎপন্ন করে তাই হল গোলকের তল।

ঘনক বলতে কী বোঝায়?

উত্তরঃ ঘনক হলো আয়তার ঘনবস্তুর বিশেষরূপ। আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে, তাকে ঘনক বলে।

মনে করি, ABCDEFGH একটি ঘনক।

একটি ঘনকের যা থাকে তা হলো-

• ৬ টি বর্গাকার সর্বসম পৃষ্ঠতল
• ১২ টি সমান দৈর্ঘ্যের ধার
• ৮ টি শীর্ষ